Video 3-2: Folgen und Grenzwerte

0:03 Im nächsten Abschnitt schauen wir uns noch mal ganz kurz Detail Definitionen aus der Analysis an, die wir im Wesentlich verwenden wollen. Ich hoffe, dass ich Ihnen die im Wesentlichen mit mit Bildchen ähm intuitiv plausibel klar maachchen kann und sie ein bisschen auf was aufbauen, was sie schon aus äh Schule und aus dem Mathestuh aus den Matte Vorlesungen kennen. Wir haben jetzt ein bisschen gesehen, dass wir Algorithmen analysieren können. auch dazu genau diese Übersetzung von Code zu Formeln und dann Formeln vereinfachen werden wir noch ein bisschen strukturierter üben. Aber das Endergebnis an der Stelle war ja immer noch irgend so ein komischer Koffer von dem Term, den man vielleicht nicht unbedingt ansieht, ob das jetzt gut oder schlecht ist. Man kann Zahlen einsetzen, das ist ein guter sinnvoller erster Schritt, s manchmal äh nicht das einzige, was man was man tun möchte. Und deswegen brauchen wir Handwerkszeug, um diese Terme zu vereinfachen. Wir werden uns also eine gewisse Art von Approximation erlauben und es ist aber nicht die Approximation, die man manchmal vielleicht in dem ingenieurswissenschaftlichen Kontext nehmen würde, wo man sagt, wir wollen eine konkrete Zahl, dann vielleicht ein Plus minus irgendeinen kleinen Bereich, sondern wir wollen asymptotische Approximation und dafür brauchen wir folgende und Grenzwerte.

1:19 Ähm, bisschen Notation werde ich relativ schnell drüber gehen. Ist einfach nur als als Referenz, wenn Ihnen irgendwo was auffällt, dann sollte das die Notation sein, zu der wir uns verpflichten wollen. Und wenn Ihnen was auffüllt, wo das falsch ist, dann melden Sie sich. Insbesondere möchte ich vermeiden, das n ohne was zu schreiben, weil man dann nie weiß, ob die null oder die ein ob die 0 dabei ist oder nicht. Also es gibt n0 und es gibt n größer = 1 und ich werde eich fast immer die Variante beschrei verwenden, weil da ist einfach eindeutig was gemeint ist, hoffe ich. Dann gibt's nich die reellen Zahlen oder es gibt die ganzen Zahlen, hat man auch schon verwendet. Das kennen Sie. Ähm in der Informatik verbrauch brauchen wir recht oft Logarithmen zur Basis 2, deswegen gibt's eine extra Abkürzung dafür. LG hat sich eingebürgert.

2:12 Manchmal findet man auch LD für Logarithmus Dualis, aber ich glaube, das ist ein bisschen altmodisch geworden. LG ist so der Standard mittlerweile und ln ist auch in der Mathematik gebräuchlich. Manchmal schreibt man in der Mathematik für ln, also Logarithmus zur Basis eer die ähm hier das 2,71 eerte Zahl ähm schreibt man manchmal der Mathematik auch nur log ohne irgendeine Basis anzugeben.

2:41 Log ohne Basis wollen wir eigentlich nicht verwenden mit einer Ausnahme, auf die ich nachher zu sprechen komme. Aber wenn ich ähm konkrete Funktionen meine, die konkrete Zahlen darstellen, dann möchte ich entweder immer eine Basis hinschreiben oder diese zwei Abkürzungen verwenden. Und sie sind also angehalten, das auch so zu tun, einfach weil auch wieder das Log ohne was dran weiß man nie so richtig, was ist denn jetzt gemeint? Je nachdem w man fragt, manchmal ist die Basis 10, manchmal E und manchmal zwei. Finde ich nervig. Gut, dann haben wir ähm solche Konstrukte folgen von reellen Zahlen, in der Regel indiziert über die natürlichen Zahlen ab 1 oder ab 0, je nachdem. Äh formal ist es natürlich nur eine Funktion, die diesen Index abbildet in die reellen Zahlen. Äh schreiben wir manchmal auch so in Pünktchen Notation.

3:40 W gleich noch, na ja, vielleicht können wir einmal ein Beispiel hinschreiben. In der Regel schreibe ich das dann auch als so eine Abbildung. Das ist natürlich ähm ein bisschen informell. Was das eigentlich heißen soll, ist das Enteglied in dieser Folge hat den Wert n Quadrat und man würde es sauber eigentlich über diese Funktionsschreibweise besser schreiben, ne? A ist die Funktion. Ja.

4:28 Okay, also a ist die Funktion, a ist die Funktion, die n auf n quadrat abbildet. Würde man gerne zisb schreiben, aber das ist unnötig sperrig.

4:50 Diese Schreibweise ist an der Stelle, denke ich, eindeutig und äh wen wir dann oft auch so verwenden. Zentraler Punkt auf dieser Folie ist der letzte Teil Grenzwerte einer Folge. Wenn ich so eine Folge habe, also ich habe die geht immer weiter bis unendlich oder unbeschränkt, dann kann ich mich fragen, ob diese Folge, wenn ich den Index immer größer mache, diese schöne Eigenschaft hat, dass er auf einen bestimmten Wert zuläuft oder eben nicht. ähm schreiben wir als Limus für n gegen unendlich von an ist ein Wert a Stern. Genau dann, wenn das hier eben gilt, das Kriterium haben Sie bestimmt auch schon gesehen. Also, was heißt das hier mit diesen Quantoren?

5:36 Das hier heißt für alle, das hier heißt existiert. Also für jede beliebige Zahl Quellezahl größer 0 kann ich einen existiert ein Startindex n0 so dass für alle Startindizes noch weiter draußen noch größer als n0 die der Abstand zwischen meinem an und meinem meinem hypothetischen Grenzwert kleiner ist als Anschaulich heißt es, ich kann beliebig nah an mein A- Stern rangehen und dann wird auch meine Folge sich in diesem Abstand von A Stern noch aufhalten, aber eventuell muss ich ein bestimmten endlichen Präfix abschneiden. Ich muss eine bestimmte Anzahl Elemente ignorieren, aber ab dann sind alle weiteren ganz nah an diesem A Stern, nämlich EP nah. Da ich das für jedes beliebig kleine EP machen kann, äh kann die Folge letztlich nens anderes mehr hin als zu diesem A-Stern. Haben sie alle mal gesehen, hoffe ich, in irgendeiner Form. an alles ist ähm bis zu dem Teil, manchmal sogar in der Schule, aber ohne die Quantoren.

6:56 Ähm klassischen Mathematik, wenn man was definiert, fragt man, gibt's das? Und es ist eindeutig, jede Folge ähm hat höchstens einen Grenzwert, aber sie kann auch gar keinen haben. Wenn ich so eine Folge habe wie -1 hoch n, dann springt die immer zwischen geraden ungeraden Zahlen zwischen 0 und 1 und -1 und wird nie konvergieren. Ich finde für kleiner als 2 nie so ein so ein Schlauch um einen Grenzwert, so dass alle Elemente da drin liegen. Wenn es aber einen Grenzwert gibt, dann kann es nur einen geben.

7:36 Okay, kleines Beispiel. Äh eine Folge, die man so malen kann. Wenn ich hier n hab, dann fange ich irgendwie bei 1 bei 1 an. Bei zwei bin ich bei ein halb, bei drei bin ich bei ein Trippel und so weiter. Die Folge besteht aus positiven reellen Zahlen. Die ist nie exakt null. Trotzdem konvergiert sie gegen null. Sie wird immer näher an die null rankommen, je größer ich mein n mache. Wenn ich das formal beweisen möchte, dann muss ich mich mit dieser Definition hier rum ärgern.

8:24 Wir werden das so gut wie nie so machen, weil fast immer man eine Abkürzung nehmen kann über ein Ergebnis, dass man schon etabliert hat. Aber nur so einmal, um zu illustrieren, wie man Beweise gegen so eine Definition führt. Das ist so ein ein hin und her von dem Spiel. Wenn dann Alquantor steht, dann heißt es, sie geben mir ein Epsilon. Okay, da habe ich keine Kontrolle drüber. Das kriege ich von Ihnen gegeben. Also, es ist ein beliebiges Ep. Jetzt habe ich aber hier ein Existenzquant. Jetzt darf ich mir was aussuchen. Ich darf ein n0 suchen. Ich möchte am Ende, dass mein mein an - 0 kleiner ist. Ich weiß nicht, was ihr EP ist, aber ich weiß, was mein an ist. Und der Betrag -0, das ist ja genau das hier. Wenn das hier kleiner als sein soll, dann muss ich eben meinen n größer als 1 dur wählen.

9:32 Das heißt, wir wählen ein n0 als 1 dur. D müssen wir das irgendwie noch runden zu einer ganzen Zahl s mal großzügig machen noch eins oben drauf, damit es auch dicke hält. Und dann würden wir jetzt hier die Rechnung noch mal machen. Also das Spiel geht dann weiter. Ich habe jetzt meine Null gewählt. Jetzt wählen Sie ein beliebiges n größer N0.

10:11 Und dann setzen wir halt ein. Also ich ich nehme mein an minus den Grenzwert, das ist 1 dur n und dann ist das, wenn n größer als n0 ist, ist das höchstens so groß wie 1 dur n0. Jetzt muss ich meine unbequeme Definition hier einsetzen.

10:45 Das ist aber auf jeden Fall kleiner als 1 durch, weil das hier unten äh größer ist und mein äh 1 durch 1 durch. Ach komm schon.

10:59 Der hat manchmal hier so ein Hänger. Das ist lästig. Ayayay 1 durch 1 durch. Das ist gerade, also ist das hier kleiner. Das ist das, was wir zeigen sollten.

11:50 Das war jetzt der der Schnelldurchlauf. Äh, ich habe einige Dinge nur mündlich gesagt, die man vielleicht aufschreiben würde, aber ist auch ein sehr einfaches Beispiel.

11:59 Also Punkt an der Stelle sollte im Wesentlichen sein, wenn Sie wenn Sie Beweise führen mit so einem mit einer Aussage, die diese geschachtelten Quantoren hat, dann ist es ein Spiel mit zwei Spielen. Sie der Beweiser und der Gegner, der ihn versucht Werte zuzuschieben für diese Allquantoren, die ihn das Leben schwer machen, während die Existenzquantoren ihnen die Wahl lassen, was sie tun. Äh, das hier war so eine Nebenrechnung, die man Nebenrechnung, die nicht Teil von Beweis ist, die aber natürlich plausibel macht, wie wir jetzt plötzlich mit dieser magischen Wahl von N0 da um die Ecke gekommen sind.

12:37 Also, wie gesagt, so würde man das formal beweisen, wenn man nur die Definition zur Hand hat. Ähm, wir werden selten auf das Level runter müssen.

12:50 In den Übungen würden wir eben z.B., dass der Grenzwert von 1 durch null ist. Das würden wir Ihnen auch so abkaufen. Müssen Sie nicht mit den Quantoren beweisen. Das äh das ist dann wirklich Stoff von Analysis 0,1.

13:07 Jetzt hatten wir Folgen, die spezielle Funktionen sind, ja, von den natürlichen Zahlen in reelle Zahlen. Man kann auch Grenzwerte von reellen Funktionen betrachten, weil die Funktion selbst hätte ich vielleicht irgendwann mal dazu schreiben können, eine Funktion von R nach R.

13:23 Ähm, also eine kontinuierliche Funktion. Auch da kann man Grenzwerte definieren und man kann die auch definieren, wenn der der Punkt, der uns interessiert, nicht unbedingt unendlich ist. Also z.B. hier könnte der Grenzwert sein, wenn X gegen X geht. Also XI ist einfach nur irgendeine eine Zahl. Äh ein paar griechische Buchstaben, damit es akademischer aussieht, aber ich hätte auch andere Zahl anderen lateinischen Buchstaben schreiben können. Das ist ein Wert F Stern. Genau. Dann werden ähnliche geschachtelte Quantorengchichte wie eben, nur weil wir nicht n größer N0 für das unendlich haben, sondern nah an diesen Wert XI rankommen. Ähm heißt das jetzt für jeden Abstand, den wir am Ende von für unsere Funktion und den den Grenzwert haben möchten, finden wir ein Delta, einen Abstand, wie nah muss ich mit meinem X an mein X rangehen, damit ich dann diesen Wert bekomme. Also in der vorherigen Definition war statt das Xi war unendlich, das heißt nahen unendlich rein rankommen heißt eben groß sein, größer als ein N0.

14:36 Wenn das XI ein endlicher Wert ist, eine reelle Zahl, dann würde man es so aus so formulieren. Aber von der Intuition ist es das gleiche, ist nur formal anders auszudrücken, weil unendlich eben keine reelle Zahl ist.

14:55 Äh, letzter wichtiger Punkt noch für unsere formale Definition. Und an der Stelle, wenn Sie da ein bisschen abgehängt sind, dann ignorieren Sie den Teil und wir holen Sie später wieder ab. Und ich zeige Ihnen an den konkreten Stellen, warum der Ausflug Sinn macht, auch wenn wir ihn selten brauchen, aber ab und zu brauchen. Äh, ich möchte gerne noch diese ähm Limus Superior, Limus Inferior einführen. Also Supremum ist ein Maximum über eine Menge, die unendlich ist, s dass es vielleicht nicht angenommen wird. Sprich, es ist die kleinste obere Schranke für eine Menge. Äh, wir hatten letztlich ähm für so einen, wir könnten die Menge nehmen, 1 - 1 dur n für n0.

15:41 Ich habe mir ja versprochen, ich schreib kein normales n. Das könnte so eine Menge sein. Wenn das mal eine Menge M ist, dann sehen Sie, die hat ähm die hat einen Deckel nach oben, die ist nie mehr als eins. Die erreicht aber auch eins tatsächlich nie. Also jedes Element in m ist kleiner als 1, aber ich kann nicht sagen, dass das Maximum von m 1 ist, denn m hat kein Maximum. Jede Zahl, die Sie mir geben, kann man noch mal überbieten. Trotzdem gibt's einen wohldefinierten Sinn von einem von der besten oberen Schranke für diese Menge M.

16:26 Na ja, das folgt jetzt hier nicht, sondern das äh sieht man hier sozusagen separat. Das wäre ein Beispiel. Hier ist in dieser Menge das Supremium dieser Menge ist 1, weil ich ähm beliebig nah an eins rankomme, aber eins auch nie erreiche.

16:48 Also formal definiert als die kleinste obere Schranke. Also ein B ist eine obere Schranke, wenn für jedes Element in der Menge gilt, dass es kleiner als B ist und dann hätte ich von diesen gerne das Minimum.

16:59 Und da kann man wiederum dann zeigen, äh fürs zu weit, dass es dieses Minimum gibt. Okay. Ähm falsche Richtung. Das Gegenstück Supremum ist das Maximum, was vielleicht nicht erreicht wird. Infimum ist das Minimum, das vielleicht nicht erreicht wird. Dementsprechend die größte untere Schranke. Also, wenn ich eine Menge habe 1 dur n, ne?

17:32 Dann wäre das Infimum dieser Menge null. Niemand kann das lesen. Ähm, beide können, äh, wenn sie nicht existieren, sind sie plus oder minus unendlich. Wenn sie endliche Zahlen sind, dann sind sie eindeutig ähnlich wie die Grenzwerte vorher. Äh, behalten Sie am besten hauptsächlich dieses Bild hier im Kopf, denn das drückt eigentlich alles aus, was wir jetzt für das folgende wissen müssen. Man kann jetzt einen Limis Superi von so einer Funktion oder von der Folge, die eigentlich keinen richtigen Grenzwert hat, trotzdem dann einen grenzwertig obere und untere Schranke.

18:10 Also allgemeiner Punkt für solche reellen Folgen. Entweder konvergiert die gegen einen Grenzwert oder ich kann einen oberen unten unteren Bereich angeben, indem die Folge bleibt. Einziger Haken ist, der Bereich könnte bis unendlich oder minus unendlich gehen. Aber es gibt sozusagen immer einen einen festen Bereich. Entweder bleibt die Funktion für immer in diesem Bereich oder ich kann den noch äh noch kleiner machen. Formal ist diese dieser rote obere Linie der Limus Superior ist dieser Grenzwert der Supremum der Suprema von äh an. Wenn ich mir nur die anschaue, also das ist gut, das ist einfach nur die Schreibweise der liebes Superior von an. Das ist die das Infimum all dieser Suprema, wobei ich hier immer mehr vom Anfang ignoriere. Also diese grünen Punkte hier sagen, ich schaue mir nur die Folge an ab einem bestimmten N. Unter denen wähle ich die beste obere Schranke und dann nehme ich aber für alle endlichen Startpunkte, wie viel ich am Anfang ignorieren könnte. Dafür nehme ich den das Infimum, also die beste obere Schranke.

19:30 Also hier in diesem Beispiel, die blaue Funktion, die äh konvergiert nicht, die schwankt am Ende zwischen -1 und 1. Ist aber am Anfang größer. Das heißt, ich kann nicht sagen, dass das Supremum dieser blauen Punk Funktion 1 wäre, denn die ist am Anfang ja größer, aber sie ist es nun sie ist es nur endlich oft und ähm größer als 1 + Y ist äh man muss es man muss es als Grenzwert definieren. Ähm alternative Version davon ähm Häufungspunkte sind Werte, die eine Folge unendlich oft annimmt und dann ist es der größte davon für den Limus Superior, der kleinste für den Limus Inferior oder die beste obere Schranke, wenn ich bereit bin, endlich viele Werte zu ignorieren.

20:29 Okay, also wir werden hauptsächlich das Bild davon brauchen. Wir werden kaum jemals über die formale Definition reden. Ich wollte ihn das aber noch einmal zumindest irgendwo an anfüttern, anliefern. kommt in der Analysis in der Regel irgendwo am Rande vor, aber weiß nicht, wie wie sehr sie das eingeübt haben.