Video 3-5: Rechenregeln für Asymptotiken

0:03 Ein allererstes Beispiel hatten wir schon, wie man diese asymptotischen Approximation diese Notation verwendet. Es gibt eine ganze Reihe von äh Rechenregeln, die einem da das Arbeiten etwas erleichtern, sass man nicht jedes Mal komplett bis runter auf den Grenzwert zurückgehen muss und streng nach Definition arbeiten muss.

0:25 Und das möchte ich Ihnen ein paar zeigen. Äh, all das werden Sie in den Übungen dann noch ein paar mal einüben und ähm werden ihnen auch dann noch ein paar Tools zeigen, die sie zum sich überprüfen verwenden können. Insbesondere Wolfram Alpha ist ganz gut im Kretzwerter ausrechnen. Wird Ihnen in der Regel die richtige Antwort liefern, können Sie sich für die Klausur natürlich nicht drauf verlassen, aber zum in der Übung in den Übungsaufgaben prüfen, ob sie richtig liegen, können Sie es verwenden. Was sie in den Übungsaufgaben üben sollten, ist das so aufzuschreiben, dass der Rechenweg plausibel wird.

1:05 Schauen wir uns ein äh nächstes Beispiel an von zwei Funktionen, die durchaus so in Algorithmen öfter vorkommen. Einmal n log n. Ähm wie hier oft üblich, lassen wir da die Klammern weg, aber natürlich ist das so eine Kurzschreibweise für für das hier. Und ich habe hier den den natürlichen Logarithmus, also Basis E, seiner sich und die Behauptung ist, dass das klein O von n² ist. Sehnen sich auch noch an diese Notation noch mal, weil die auf dem Bild ja nicht vorkam.

1:40 Klein O waren die Varianten, wo der Grenzwert null sein soll. Da wir das dann noch nicht ganz so oft gemacht haben, nehme ich mal die Definition noch einmal mit.

1:56 Was ich Ihnen letztes Mal ja schon gepreddigt hatte, war der, dass der Vorteil gerade unserer Definition von asymptotischen Notation ist, dass wir immer das gleiche machen. Wir nehmen immer einen Grenzwert, wenn wir es formal nach Definition betrachten wollen. Wir teilen über die zwei Funktionen durcheinander und schauen, was passiert, wenn ich n groß werden lasse. Und in dem Fall kann ich natürlich ein n kürzen. Dann habe ich noch ln geil dur n. Und vielleicht wissen Sie jetzt schon oder äh kennen es einfach schon. Ähm, das geht gegen null. Aber wie zeigen wir das denn jetzt, wenn wir es noch nicht wissen? Erstmal würden wir gerne den Grenzwert davon bilden, also n gegen unendlich.

2:50 Das Kürzen ändert dann natürlich nichts, aber jetzt habe ich mal erstmal einen Grenzwert der Form unendlich durch unendlich, weil beide Funktionen Zähler und Nenner sind erstmal unbeschränkt. Wenn ich ähm n immer größer mache, dann werden die beide beliebig groß. Das wäre sozusagen erstmal äh Basiswissen über diese zwei Funktionen, was wir jetzt nicht noch mal beweisen. Aber unendlich durch unendlich teilen kann ich nicht einfach machen, da ist unbestimmt, was rauskommt. Das heißt, ich brauche an der Stelle irgendeinen Trick, wie ich weiterrechnen kann. Und ein Trick, den man äh den Sie vielleicht auch aus der Schule tatsächlich kennen, ähm ist diese Regel von Lopital, die genau für solche Grenzwerte unbestimmter äh Quotienten, also unendlich durch unendlich oder 0 durch 0, das hätte ich hier vielleicht in Anführungszeichen setzen sollen. Das natürlich keine wirkliche, kann man nicht wirklich hinschreiben. Ich darf ja nicht durch null teilen, ich irgendwie unbestimmt, hat keinen sinnvollen Wert. Äh, für Grenzwerte dieser Form kann man oft folgenden Trick verwenden. Ich kann den Grenzwert der Funktion durch den Grenzwert der Ableitung ersetzen und die Regel von Lopital sagt mir dann, die zwei sind gleich. Wenn ich also beides ableite, Zähler und Nenner und den Grenzwert davon bilde, dann ist das das gleiche wie die ursprünglichen Funktionen unter ein paar Bedingungen. Da gibt's so ein paar terms wir überprüfen müssen, denn das ist nicht ganz immer wahr, aber die Bedingungen sind oft erfüllt, deswegen ist das eine Regel, die wir oft verwenden wollen.

4:29 Also insbesondere müssen die Funktionen überhaupt ableitbar sein, damit das Sinn ergibt, diese Ableitung hinzuschreiben. Das ist fast schon klar. Ähm, achten Sie auch hier drauf, man darf die Funktion einschränken auf die reellen Zahlen ab einer bestimmten Mindestgröße. Das ist oft bequem, wir interessieren uns ja eh nur für den Grenzwert, aber manchmal sind die Funktionen am Anfang so, dass sie ähm manche diese Eigenschaften noch nicht erfüllen, gerade die zweite z.B. Das macht aber nichts. Solange es nur endlich oft nicht erfüllt ist, ist okay. Dann fangen wir einfach danach an. Also, wir müssen ableitbar sein. Die Ableitung des äh Nenners muss nicht null sein. Wir wollen ja dadurch teilen. Das ist ähm auch relativ klar, warum wir das brauchen.

5:17 Formal muss auch diese Aufgabe überhaupt von der Form sein, die da oben steht. Und letzter Punkt, dieser Grenzwert muss existieren. Wenn der nicht existiert, dann macht erstmal diese Regel nicht sofort eine Aussage. Normal muss man diese vier vier Bedingungen immer prüfen. Ähm, die sind aber relativ intuitiv logisch, dass man die braucht, weil sonst der zweite Grenzwert gar nicht viel Sinn ergibt. Also insbesondere für unsere beiden Funktionen natürlicher Logarithmus und n, die sind ab 1 oder so. äh differenzierbar die Ableitung von den beiden.

6:04 Also ab wir haben den Zähler als ln und den Nenner als N. Dementsprechend können wir die Ableitung ausrechnen. Das muss man hier halt einfach wissen. Das ist 1 dur n Ähm, wir haben auch schon geprüft, diese zwei Zähler und Energiehen beide ging unendlich. Das heißt, als nächstes schauen wir uns diesen äh Quotient aus den beiden Ableitungen an.

6:58 Wenn wir da einsetzen, was das ist, dann ist es eben einfach 1 dur n. Und das hat natürlich als Grenzwert den Grenzwert verschlammt. Das hat als Grenzwert null. Das ist also der existiert oder ist ein endlicher Grenzwert. Dementsprechend sind alle vier Bedingungen von Lobitals Regel erfüllt. Das heißt, ich darf hier oben meine Gleichung fortsetzen oder ich fange sie neu an.

7:37 Nach dieser Regel ist dann eben dieser Grenzwert Damit ist der Grenzwert null. Das war das, was wir hier brauchen. Also ist die Aussage korrekt.

7:58 Okay, das ist so eine der Hürden, die man ab und zu mal hat. Wenn Logarithmen vorkommen, muss man fast immer irgendwie lobbital bemühen. Äh wenn man nicht eh auswendig weiß, äh wie die sich verhalten. Wenn man es formal begründen möchte, dann muss man eben über die Ableitung gehen.

8:26 Dann hatten wir ja letztes Mal schon hier diese Frage gestellt. Ich mach noch mal auf, was sie damals gesagt hatten. War so ein relativ gemischtes Bild. Äh, ich hatte sie auch gefragt, bevor wir überhaupt definiert haben, was es mit groß O ist. Also völlig okay, dass einige bei der ersten Antwort ähm dabei waren.

9:04 Irgendwann würden wir das ja aber gerne mal klären. Was ist denn da jetzt richtig? Wir machen natürlich die gleiche den gleichen Ansatz wie immer. Wir teilen die beiden Funktionen durcheinander. Ich schreib das hier mal auch wieder in der äh in der Kurzform wollte ich schreiben, also die den Exponent vom Logarithmus einfach direkt über die Logarithmusfunktion. Gemeint ist aber letztlich, dass der ganze Logarithmus von n zur zehnten Potenz genommen wird.

9:49 unendlich gegen unendlich, unendlich durch unendlich und die Funktionen sind auch wieder gutmütig, glatt ableitbar. Die Ableitungen sind ähm für große Nig 0. Also können wir wieder Lopailsregel anwenden. Wir können das hier einfach mal anfangen. Was dann passiert, ähm insbesondere hier im Nenner.

10:17 Mhm. klemmt. Okay, vielleicht auch diese Kurzschreibweise für die Ableitung. Da muss ich keinen Namen für die Funktion definieren. Wie war wie leiten wir da ab? Da gibt's diese Ableitungsregeln. Kettenregel innere und äußere Ableitung. Also das erstmal die äußere Funktion ist eine zehnte Potenz. Das heißt, die Ableitung ist 10 mal und dann die Potenz 1 weniger.

11:10 Und dann muss ich noch die innere Ableitung bilden. Das ist der Logarithmus von n. Da war die Ableitung ja 1 ge n. An der Stelle wäre es vielleicht auch noch fair, was über den Log zu sagen. Äh, das kommt eventuell bei den Rechenregeln habe ich es auch auf der Folie. Ich habe ihn ja eigentlich versprochen, wir schreiben log nie ohne Basis. Ähm insbesondere entweder steht eine fette eine Basis explizit dran oder wir nehmen ln oder lg für den zweier Logarithmus. Und hier habe ich mich ja nicht an meine eigene Regel gehalten. So mag es aussehen. Der Punkt ist, die eine Ausnahme ist die Basis egal. Ich kriege also die gleiche Klasse. Ich sollte das vielleicht für Teta schreiben.

12:40 Solange die Basis eine Konstante ist, irgendeine positive Zahl, die nicht von n abhängt, sind die alle gleich. Äh, der Grund dafür liegt darin, dass Logarithmus zu irgendeiner Basis mit den Logarithmusgesetzen sich umschreiben lässt, z.B. zu unserem ln, wenn wir das äh als Beispiel nehmen wollen. Und dann ist das ja jetzt einfach nur irgendeine Konstante hier.

13:14 Und wenn ich also jetzt die diese beiden Funktionen miteinander vergleiche oder den Kozenten bilden würde, ja, dann wäre log b von n durch mein ln, aber nur der Unterschied dieser Konstante.

13:38 Das bedeutet, dieser dieser Quotient hat immer einen beschränkten Grenzwert und zwar von oben wie von unten es weder unendlich noch null. Das heißt, was wir hier gezeigt haben, ist, dass für jede feste Basis n log das gleiche ist wie z.B. theta von ln.

13:57 Wenn mich also nur so eine Thetaklasse interessiert oder anders ausgedrückt Konstanten vorne dran interessieren mich nicht, dann sind alle Konstantenbasen für den Logarithmus das gleiche. Das ändert nur diese versteckte Konstante und wenn wir die E verstecken, dann können wir uns auch sparen, die hinzuschreiben, um diesen Aspekt oder diese diese Ignoranz bezüglich der Basis wirklich deutlich zu machen. Sie haben mich auch ohne Mikro ganz gut gehört. Ja, nehmen wir es trotzdem mit. Äh, um die Ignoranz über gegenüber der Basis vom Logarithmus explizit zu machen, lassen wir gerne in den in den Unnotationsterm die Basis einfach weg, um sozusagen permanent sie dran zu erinnern. Da spielt die Basis keine Rolle, während sie sonst natürlich eine Rolle spielen kann für den allgemeinen Wert.

14:49 das also dazu. Deswegen ähm ist das dann mit der Ausnahme doch regelkonform, so wie ich das gerne machen möchte, einfach als als permanente Erinnerung daran.

15:01 Wir waren hier stehenbeblieben bei der Ableitung. Das heißt, wenn hier dieser O-Term steht, ich darf mir die Basis aussuchen und wenn Sie sich aussuchen dürfen und Lopital rechnen müssen, dann nehmen Sie immer den natürlichen Logarithmus, denn für den ist die Ableitung einfach 1 durch n. Für eine andere Basis hat man immer diese lästigen Faktoren noch rumzuschleifen.

15:24 Okay, wir können natürlich auch die ähm den Zähler ableiten. Brauchen wir für Lobitalia auch. Und dann sieht man schon hier, der Zähler ähm ist jetzt relativ klein. Äh wenn ich die beiden durcheinander dividiere, jetzt wünschte ich mir doch, ich hätte einen Namen für die zwei Funktionen vergeben, aber jetzt bleibe ich mal dabei.

16:00 Dann kann man ein bisschen kürzen. Die kann die Faktoren vorne dran kann man noch äh zusammenziehen. Das also unterm Bruch eine 100. Ich habe n hoch -0,1. Das kann ich in den Zähler verschieben. Dann habe ich hier n hoch 1,1 und ich habe noch die neunte äh neunen Exponent von log n und oben ist nur noch eine 1 übrig. Das heißt in dem Fall okay, ist sehr klein geworden. Tut mir leid, ich schieb es ein bisschen rüber.

16:36 Das war nicht wenn was ich wollte. Also in dem Fall ist der der Zähler jetzt konstant und der Nenner geht gegen unendlich. Das heißt, das wird gegen null gehen. Frage äh 0,9 meinte ich. Stimmt. W noch mehr hier.

17:26 Genau. Es war natürlich mein absichtlicher Test zum äh wie immer Sie kennen das Spiel. Also an der Stelle sehen Sie auch für diese etwas sperrigeren Funktionen bin führt im Prinzip Lopital zum Ziel. Manchmal muss man Lopital mehrmals anwenden, wenn man nach dem Ableiten hier immer noch den Fall unendlich durch unendlich hat oder 0 durch null hat, dann kann man manchmal auf diesen zweiten Grenzwert dann noch mal Lopital anwenden und nach einer Reihe von Anwendung führt's dann zum Ziel. Äh, wenn wir auch in den Übungen mal noch ein Beispiel irgendwo unterbringen.

18:07 Gut, dementsprechend, das hat wir jetzt gar nicht mehr aufgelöst. Da das hier gegen null geht, irgendwo ist ein Wurm drin. Das ja falsch, ne? Was habe ich getan?

18:41 Ah, das N müsste nach oben. Stimmt, da ist der Fehler. Genau so ist es. Das ist ich habe mich schon gewundert, weil das eigentlich so ein Beispiel ist, wo man mehrmals anwenden muss.

19:06 Genau. Wir haben also den Fall hier ähm, dass sich der Zähler quasi reproduziert und der Nenner reproduziert und der Zähler ist fast so wie vorher eine andere Konstante und eine kleinere Potenz vom Logarithmus ist immer noch von der Form unendlich durch unendlich. Das heißt, hier müssen wir Lopital noch mal anwenden, dann haben wir was ähnliches. Das passiert immer wieder das gleiche, bis irgendwann dann die Potenz von dem Logarithmus weg ist. Und dann habe ich nur noch hier oben was stehen und unten eine Konstante und am Ende geht's gegen unendlich. Komm schon Stift.

19:57 Es kam Grund, warum ich das Beispiel nicht in komplett auf die Folie gepackt habe. Am Ende kriegen wir, dass der Grenzwert gegen unendlich geht. Deswegen ist Antwort C am Ende richtig.

20:10 Das ist ein Beispiel, was man mit kleineren Konstanten als 0,1 und 10 äh machen möchte. Und dann kann man per Induktion meine Teilen beweisen, dass das für beliebige Exponenten vom Logarithmus äh der Fall ist.

20:30 Also ein bisschen ähm das abstrakte, was dahinter steht, n hoch eine Konstante wächst immer schneller als Logarithmus hoch irgendeine andere Konstante und das ist egal, welche Konstanten ich da habe, solange die positiv sind.

21:00 Okay, also Grenzwerte ausrechnen. Äh, wenn man sich nicht vertut führt immer zum Ziel. Ist aber manchmal mühsam, weil man Lopital mehrfach anwenden muss. Das nehmen wir mal mit. Dann wie versprochen paar Rechenregeln, die eine manchmal das Leben etwas leichter machen. Also jede Funktion ist in den ganzen Notationen von sich selbst, aber nicht für die klein Oder klein Omega Notation. Die waren ja so sowas wie echt kleiner oder der Quizient müsste gegen null oder unendlich gehen.

21:45 Und wenn ich eine Funktion mit einer Konstanten multipliziere, dann verändere ich diese O-Klasse nicht quasi direkt nach äh nach Intuition. Aber natürlich können Sie auch nachrechnen, dass es den Quotient dann um nur eine Konstante ändert.

22:03 Wenn man von zwei Funktionen die Summe bildet, dann kann ich das auch in die O-Klasse ziehen. Aber insbesondere ist für die asymptotische Klasse, für die O-Klasse nur das Maximum der beiden Funktionen relevant.

22:15 Der Punkt ist, dass ich äh beide Funktionen durch ihr Maximum ersetzen könnte. Dann würde die Summe zu zweimal das Maximum nach oben abgeschätzt. Aber den Faktor 2 ignoriere ich dann ja wieder. Dementsprechend kann ich auch direkt nur das Maximum nehmen. Wiederholt O anwenden, ändert nichts. Ähm auch das Produkt kann ich äh bilden, aber da gibt's dann nicht so eine einfache Vereinfachung.

22:42 Man kann die diese asymptotische Äquivalenz sehen sich das hieß f ge g konvergiert gegen 1. Das kann man auch anders schreiben mit mit dieser Multiplikation als diesen Ausdruck. Binnen Sie manchmal ähm so auch verwendet. Ähm hier das +- 1 ist nur um auszudrücken, dass die Funktion sowohl positiv als auch negativ sein kann. Das ist eigentlich nicht nötig. Ähm, die Frage ist so ein bisschen, was was dieses Plus hier bedeutet, denn eigentlich ist ja ähm groß O von F eine Menge von Funktionen, nämlich die Menge aller Funktionen H, sodass der Grenzwert eben von h von n durch f von n kleiner unendlich bleibt. Und da hatten wir insbesondere die Betragsstriche verwendet.

23:47 Das heißt, diese Funktion H, die kann grundsätzlich positiv oder negativ sein oder auch dazwischen hin und her schwanken. Das gleiche gilt auch für diese ähm für diese zweite Menge von Funktionen. Das heißt, wenn ich sowas hier äh schreibe, dann muss ich mir überhaupt erstmal überlegen, was was heißt es denn, dass ich zwei Mengen hier addiere? Die Idee ist, dass ich irgendeine Funktion aus der einen Menge und irgendeine Funktion aus der anderen Menge kombinieren darf, indem ich sie zusammenzähle, indem ich sie adiere. Das gleiche ist hier auch gemeint mit diesem Plus. Die 1 ist die konstante Funktion und ich darf zu dieser Konstanten 1 irgendeine der Funktionen aus der Klasse klein O von 1 addieren. Also irgendeine Funktion, die für sich genommen gegen null konvergiert.

24:40 Ähm direkt nach Definition, wenn F in O von G ist, ist G in O von in Omega von F und für für theta ist ist symmetrisch in beide Richtungen. Das folgt auch direkt aus dem Teil. Analog zu dem Teil C, wenn ich das Omega wähle, was ja eine untere Schranke ist und da zwei Funktionen addiere, dann ist für die untere Schranke nur die kleinere der beiden relevant. Ja. Variante vom ersten.

25:14 Nein, es ist nicht die Vereinigung der Mengen. Ähm, lass mich den Punkt vielleicht dann noch mal äh konkret auf aufschreiben. Also, das hier ist das gleiche nur mit äh G.

25:34 Also an der Stelle recht sich so ein bisschen auch die äh falsches G. Das hier ist das H, aber das hier ist das G. An der Stelle recht sich so ein bisschen diese ähm schlampige Notation, die sich in der Informatik eingebürgert hat, dass man hier ist gleich schreibt, obwohl es eigentlich eine Menge sein äh ist. Das heißt, hier würde man formal korrekt Menge äh F Element der Menge schreiben. Ja, Frage.

26:13 Ähm, genau. Also das Omega ist eine untere Schranke. Ich habe kein kein Bild dazu. einfach hier noch mal kurz hingehen. Also groß Omega sagt, dass diese Funktion f mindestens so groß ist wie g. Also, wenn man das hier ergänzen möchte, ich gesagt, das groß O entspricht so ein bisschen im kleiner Gleich. In der Analogie wäre das größer Gleich, aber eben auch wieder mit diesen Einschränkung. Ja. Und das klein O ist sowas wie ein echt kleiner, aber das müssen Sie mit großer Vorsicht genießen. Die Analogie ist nur in dem Sinne richtig, dass der der Kootient eben echt kleiner jeden Konstanten ist. Davon könnte man sagen, also klein O ist so ein bisschen was wie echt kleiner. Ich bin fast versucht es eher zu schreiben als viel viel kleiner kleiner kleiner in so einem äh das hat keine formale Bedeutung dieses dieses doppelte kleiner, das heißt nur irgendwie intuitiv viel viel kleiner. Normal ist es der ist es immer der Quotient, der gegen null geht.

27:41 Äh lassen Sie mich noch sagen, was was überhaupt diese Summe von Mengen hier meinen soll. Das ist eine Menge von Funktionen, die sich darstellen lässt als ein A1 von N + ein H2 von N.

28:08 Und dieses H1 und H2 sind eben aus diesen Mengen O von F und O von G. Also es ist nicht in dem Sinne eine Vereinigung von von Mengen, sondern es ist die elementweise Addition. Ich nehme alle Elemente aus der einen Menge und also jede Kombination aus Elementen aus der einen Menge und aus der anderen Menge und bilde deren Summe. Das ist diese Summe ist ein Element in meiner äh Menge O von F + O von G. Das gleiche für alle anderen Rechenoperationen. Also ist ein bisschen eine Kurznotation, die aber immer so gemeint ist, dass man elementweise diese äh Rechenoperation auf Funktionen hochzieht oder auf Mengen von Funktionen hochzieht.

29:12 Dann könnten wir vielleicht hier auf dieses 1 +- klein Ohr von 1 auch noch eingehen. Ähm da die Funktionen in dem kleinen Ohr von 1 sowohl positiv als auch negativ sein können, ist dieses Plus minus ähm das gleiche als wäre da einfach ein Plus. Also plus minus heißt wieder, ich darf sowohl plus als auch minus verwenden. Das wäre formal, was das heißen soll. Also formal ist es eine Menge der Funktionen h so dass h von n + h1 von n ist für die H1 in klein O von 1 oder es ist jetzt komme ich hierin Bulli mit dem Platz Könnten hier ein bisschen schummeln. Ist wieder hier am Rand schwierig.

30:40 Also plus minus heißt darf mir aussuchen, ob plus oder minus. Das ist hier die gleiche Menge, als hätte ich nur plus erlaubt, weil die Funktionen in kleinen Ofen 1 positiv und negativ sein dürfen. Äh deswegen ist es hier kein Unterschied. Aber manchmal mag betonen, dass es positiv oder negativ Abweichung von eins sein kann.

31:04 Ja, vielleicht sollten wir das Lemmer nicht Rechenregeln, sondern Notationsverwirrung nennen. Äh, wenn Sie sich ein bisschen angefreundet haben mit der Idee, dass man immer auf Mengen von Funktionen rechnet, ist die Notation tatsächlich sehr kompakt und beschreibt genau das intuitiv richtige. Man muss ein bisschen sich dran gewöhnen. Ähm, auch das werden wir noch üben. Die Übungen werden so ein bisschen hin und her wechseln. Zwischen einerseits äh sich drauf fokussieren, dass sie die formal mengenhoretisch korrekte Notation verwenden, damit wir sicher sind, dass sie wissen, was sie tun und umgekehrt äh verstehen lernen, wie die Notation gemeint ist, die auf diesen Mengen einfach Operationen verwendet.

31:56 Ja, dachte eine eine gibt's noch. Ähm, es gibt so eine Transitivitätsregel. Wenn f in irgendwas von G ist und G ist im gleichen irgendwas von H, dann ist auch f im irgendwas von H. Und irgendwas dürfen sie durch irgendeine dieser Relationen ersetzen. Ähm, deswegen ist das hier die Kurzschreibweise. Also, das dieses Kringelchen ist nicht das kleine O, sondern ein Platzhalter, ne, für äh beliebige dieser Relation.

32:24 äh dürfte auch das Tilde geht natürlich genauso. Okay, eine Bemerkung, falls Sie in anderen Büchern nachschauen, da finden Sie oft eine andere Definition für groß O-Klassen. So z.B. hier die aus dem EA Buch. Ähm da ist z.B. groß O mit so geschachtelten Quantoren erklärt, was im letzt was letztendlich einfach eine andere ist die Definition vom Limis ausgefaltet. Ähm ich glaube, es ist so ein bisschen ein didaktischer Streit, ob das hier einfacher ist oder die Variation, die Variante mit dem Grenzwert. Beide haben im Detail ihre Tücken. Also es man kommt nicht ganz drum hin, dass manche Funktionen sich irgendwie nicht schön verhalten. Mir geht's hier an der Stelle nur darum, dass sie erkennen, wenn irgendwo anders diese Definitionen stehen. Ah, das ist das gleiche, das ist so wie unsere Definition mit dem Limus Superior. Es kommt auf das gleiche Ergebnis. Ähm, ich finde die Variante mit dem Grenzwert einfach deswegen praktisch, weil man immer einfach das gleiche tun muss, immer den Grenzwert der Koffizienten anschauen. Aber sein Sie sozusagen ähm sich bewusst, dass äh diese andere Formulierung auf das gleiche rausläuft.

33:41 Die wollte ich äh zumindest erwähnt haben. Zweite Nachteil ist äh diese Definition muss man sich Gedanken machen, was passiert mit negativen Funktionen? Ähm, das haben wir durch den Grenzwert dann quasi miterschlagen.